已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|•|PF2|=( ) A.2 B.4 C.6 D.8
题目
已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|•|PF2|=( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
答案
法1.由双曲线方程得a=1,b=1,c=
,
由余弦定理得
cos∠F
1PF
2=
|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 |
2|PF1||PF2| |
⇒cos60°=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|-|F1F2|2 |
2|PF1||PF2| |
⇒=22+2|PF1||PF2|-(2)2 |
2|PF1||PF2| |
∴|PF
1|•|PF
2|=4.
法2; 由焦点三角形面积公式得:
S△F1PF2=b2cot=12cot==|PF1||PF2|sin60°=|PF1||PF2|∴|PF
1|•|PF
2|=4;
故选B.
解法1,利用余弦定理及双曲线的定义,解方程求|PF1|•|PF2|的值.
解法2,由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等,解出|PF1|•|PF2|的值.
双曲线的定义;余弦定理.
本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理,考查转化的数学思想,查考生的综合运用能力及运算能力.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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