双曲线C的中心在原点,焦点在X轴上,且两条渐近线互相垂直,C与抛物线Y^2=-16X的准线交于A,B两点,
题目
双曲线C的中心在原点,焦点在X轴上,且两条渐近线互相垂直,C与抛物线Y^2=-16X的准线交于A,B两点,
绝对值AB=4√3,则C的实轴长.
答案
∵双曲线C的两条渐近线互相垂直
斜率为±1
∴a=b,即双曲线为等轴双曲线
根据题意设双曲线C:x²-y²=a²
抛物线Y^2=-16X的准线为x=4
x=4交曲线C于A,B两点,|AB|=4√3
∴A(4,2√3) (不妨令A在第一象限)
将A(4,2√3)代入C:x²-y²=a²
得a²=16-12=4,a=2
∴C的实轴长2a=4
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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