求各种三角形的定义以及定理

题目

求各种三角形的定义以及定理

答案

1. 三角不等式：
三角形两边之和大于第三边,两边之差的绝对值小于第三边.如果两者相等,则是退化三角形.
三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角.
1. 勾股定理(毕氏定理)及其逆定理：
设三角形ABC的三顶点A、B、C所对的三边分别为a、b、c,则$ a^2+b^2=c^2 $等价于角C=90°.
1. 正弦定理（R为三角形外接圆半径）：
$ frac{a}{sin(alpha)} = frac{b}{sin(eta)} = frac{c}{sin(gamma)}=2R $
1. 余弦定理：
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cdot cos (alpha) $
$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cdot cos (eta) $
$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cdot cos (gamma) $
[编辑] 2.2 角度
三角形两只内角之和,等于剩下的一只的外角.
在欧几里德平面内,三角形的内角和等于180°.
[编辑] 3 分类
[编辑] 3.1 锐角、钝角三角形
钝角三角形是其中一角为钝角（大于90°）的三角形,其余两角均小于90°.
锐角三角形的所有内角均为锐角（小于90°）.
[编辑] 3.2 直角三角形
有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形. 成直角的两条边称为直角边,直角所对的边是斜边（hypotenuse）；或最长的边称为弦,底部的一边称作勾（又作句）,另一边称为股.
可以透过不同角度的直角三角形各边的比求得锐角三角函数.
[编辑] 3.3 等边三角形
等边三角形（又称正三角形）,为三边相等的三角形.其三个内角相等,均为60°.它是锐角三角形的一种.设其边长是a,则其面积公式为$ frac{sqrt 3}{4}a^2 $.
等边三角形是正四面体、正八面体和正二十面体这三个正多面体面的形状.六个等边三角形可以拼成一个正六边形.
[编辑] 3.4 等腰三角形
等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中两只内角相等）的三角形.等腰三角形中的两条相等的边被称为腰,而另一条边被称为底边,两条腰交叉组成的那个点被称为顶点,它们组成的角被称为顶角.等腰三角形的重心、中心和垂心都位于顶点向底边的垂线上.
等腰三角形的底的垂直平分线,刚好又是对应角的角平分线,同时又是
等边三角形是等腰三角形的一个特殊形式.
等腰直角三角形只有一种形状,其中两个角为45度.
等腰直角三角形只有一种形状,其中两个角为45度.
[编辑] 3.5 退化三角形
面积为零的三角形.
[编辑] 4 特性
三角形是具有稳定性：当三角形的三边确定后,它的形状、大小就不会改变.
[编辑] 5 面积
[编辑] 5.1 已知两边及其夹角
设a、b为所知的两边,C为该夹角,三角形面积为$ frac{1}{2} $ab sin C.
[编辑] 5.2 已知底和高
$ frac{1}{2} $底x高.因为两个相同的三角形叠合可成平行四边形.
[编辑] 6 参考文献
[编辑] 6.1 已知三边长
希罗公式： 设p等于三角形三边和的一半：
$ p=frac{a+b+c}{2} $
则
$ S = sqrt{pleft(p-a ight)left(p-b ight)left(p-c ight)} $
化简后就是：
$ S = frac{1}{4} sqrt{left(a+b+c ight)left(a+b-c ight)left(a+c-b ight)left(b+c-a ight)} $
秦九韶亦求过类似的公式,称为三斜求积法：
$ sqrt{frac{1}{4} {(c^2a^2-(frac{c^2+a^2-b^2}{2})^2)}} $
基于希罗公式在三角形拥有非常小的角度时并不数值稳定,有一个变化的计法.设a ≥ b ≥ c,三角形面积为$ frac{1}{4} sqrt{(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))} $
[编辑] 7 其他三角形有关的定理
* 拿破仑三角形
* 费马点
* 欧拉线
* 梅涅劳斯定理
[编辑] 8 三角形的五心
名称

定义

图示

备注
内心

三个内角的角平分线的交点


三角形内接圆的圆心
外心

三条边的垂直平分线的交点


三角形外接圆的圆心
垂心

三条高的交点



重心

三条中线的交点


被交点划分的线段比例为1:2 (靠近角的一段较长)
旁心

外角的角平分线的交点


有三个,为三角形某一边上的旁切圆的圆心
垂心（蓝）、重心（黄）和外心（绿）能连成一线,称为欧拉线.