高一数学【不等式】（基本不等式）

题目

高一数学【不等式】（基本不等式）
1.直线L经过M（2.1）,且与X轴的非负半轴,Y轴的非负半轴分别相交于P,Q两点,O点是坐标原点,求三角形POQ面积取最小值时直线L的方程.
2.某企业预计,今年总产值的年增长率为P,明年总产值的年增长率为Q,比较这个企业从今年起,两年内总产值的年平均增长率与年增长率平均数的大小.
3.已知X,Y∈（0.1】且X

答案

这几个题都和基本不等式有关,这是高中数学必修五中的第三章知识.
1、设L：x/a＋y/b=1,其中a>0,b>0,直线过点M(2,1),则2/a＋1/b=1,利用基本不等式,有1=2/a＋1/b≥2√(2/ab),从而ab≥8,当且仅当2/a=1/b=1/2即a=4,b=2时取等号,则S=(1/2)ab≥4,此时直线是x/4＋y/2=1即x＋2y=4；
2、年增长率平均数(P＋Q)/2.设去年为a,则今年为a(1＋P),明年是a(1＋P)(1＋Q),若年平均增长率为x,则去年为a今年为a(1＋x),明年为a(1＋x)²,即a(1＋P)(1＋Q)=a(1＋x)²,解得x=√[(1＋P)(1＋Q)]－1.本题就是要比较(P＋Q)/2和√[(1＋P)(1＋Q)]－1的大小.考虑√[(1＋P)(1＋Q)]－1≤[(1＋P)＋(1＋Q)]/2－1=(P＋Q)/2；
3、x、y都在(0,1)内,则这两个对数值都是正的,所以S≤[(㏒½X＋㏒½Y)/2]²==(底数是1/3吧?)==1,考虑到等号取得的条件不满足(相等时取等号),从而本题选B；
4、A(－2,－1),以点坐标代入,有2m＋n=1.1/m＋2/n=(2m＋n)(1/m＋2/n)=4＋n/m＋4m/n≥8,当且仅当n/m=4m/n即n²=4m²时取等号(使用基本不等式的条件满足),最小值是8.
注：使用基本不等式一定要注意使用条件：正、定、等.