已知函数f(x)=ax-1-lnx,a∈R. (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值,对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围.
题目
已知函数f(x)=ax-1-lnx,a∈R.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值,对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围.
答案
(Ⅰ)在区间(0,+∞)上,
f′(x)=a−=.
①若a≤0,则f′(x)<0,f(x)是区间(0,+∞)上的减函数;
②若a>0,令f′(x)=0得x=
.
在区间(0,
)上,f′(x)<0,函数f(x)是减函数;
在区间
(,+∞)上,f′(x)>0,函数f(x)是增函数;
综上所述,①当a≤0时,f(x)的递减区间是(0,+∞),无递增区间;
②当a>0时,f(x)的递增区间是
(,+∞),递减区间是
(0,).
(II)因为函数f(x)在x=1处取得极值,所以f′(1)=0
解得a=1,经检验满足题意.
由已知f(x)≥bx-2,则
≥b 令g(x)=
=1+
−,则
g′(x)=−−= 易得g(x)在(0,e
2]上递减,在[e
2,+∞)上递增,
所以g(x)
min=
g(e2)=1−,即
b≤1−.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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