求前n个自然数的平方和公式,还要证明方法.据说现在证明方法有十几种,请罗列越多越好.

题目

求前n个自然数的平方和公式,还要证明方法.据说现在证明方法有十几种,请罗列越多越好.

答案

1²+2²+…+n²＝n(n+1)(2n+1)/6
我只知道用数学归纳法.
证明：1）当n＝1时 左边＝1,右边＝1（1＋1）（2＋1）/6=1 左边＝右边∴等式成立
2）设n＝k时 等式成立 即1²+2²+…+k²＝k(k+1)(2k+1)/6
∴n＝k＋1时
1²+2²+…+k²＋（k＋1）²＝k(k+1)(2k+1)/6＋（k＋1）²
＝k(k+1)(2k+1)/6＋6（k＋1）²/6
={(k+1) [k(2k+1)+6(k+1)]}/6
=(k+1) [2k²+7k+6]/6
=(k+1)(k+2)(2k+3) /6
=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1] /6
即n＝k＋1时等式也成立
综合1）和2）知,等式对于所有自然数n都成立.