已知三角形三个顶点到重心的距离是分别是3 4 5求此三角形面积

题目

已知三角形三个顶点到重心的距离是分别是3 4 5求此三角形面积

答案

设三角形ABC,AD、BE、CF为中线,重心为O,不妨设AO=3,BO=4,CO=5
容易证明AO=2OD,延长OD到G,使得DG=OD,连接BG
则OG=2OD=AO=3
△BDG≌△CDO,所以BG=CO=5
在△BGO中,OG=3,BO=4,BG=5
所以△BGO是直角三角线
S△BGO=1/2*3*4=6
所以S△BDO=1/2*S△BGO=3
S△OBC=2S△BDO=6
S△ABC=3S△OBC=18