已知a b属于正实数,试比较a/根号b+b/根号a与根号a+根号b的大小

题目

已知a b属于正实数,试比较a/根号b+b/根号a与根号a+根号b的大小

答案

(a/√b+b/√a)-(√a+√b)
=(a/√b-√b)+(b/√a-√a) (重新分组）
=(a-b)/√b+(b-a)/√a (通分）
=(a-b)(1/√b-1/√a) (提取公因式）
=(a-b)(√a-√b)/√(ab) (通分）
=(√a+√b)(√a-√b)^2/√(ab) (平方差分解因式）
可以看出,上式每个因子都是非负数,
所以,a/√b+b/√a>=√a+√b,当且仅当a=b时取等号.