当n属于N且n>1时,求证1+1/根号2+1/根号3+…+1/根号n>根号n.请用数学归纳法证明

题目

当n属于N且n>1时,求证1+1/根号2+1/根号3+…+1/根号n>根号n.请用数学归纳法证明

答案

1.当n=2时,1+根号2>根号2,显然成立.
假设n=k时成立,即1+1/根号2+1/根号3+…+1/根号k>根号k
当n=k+1时,左=1+1/根号2+1/根号3+…
+1/根号k+1/根号(k+1)
>根号k+1/根号(k+1)
根号k+1/根号(k+1)-根号(k+1)
={[根号k*根号(k+1)]-k}/根号(k+1)
由于k>2,根号k*根号(k+1)]-k>0
根号k+1/根号(k+1)-根号(k+1)>0
根号k+1/根号(k+1)>根号(k+1)
即当n=k+1时,左=1+1/根号2+1/根号3+…
+1/根号k+1/根号(k+1)
>根号k+1/根号(k+1)>根号(k+1)=右边
从而命题成立