设a>0,f(x)=(e^x/a)+(a/e^x)在R上的图像关于y轴对称;

题目

设a>0,f(x)=(e^x/a)+(a/e^x)在R上的图像关于y轴对称;
求：
①求a的值.
②求证：f(x)在(0,+无群大)上是增函数.

答案

设a>0,f(x)=(e^x/a)+(a/e^x)在R上的图像关于y轴对称
因为偶函数的图像关于y轴对称,
所以有f(-x)=f(x),则
(e^（-x）/a)+(a/e^(-x))=(e^x/a)+(a/e^x)
化简得
1/ae^x+ae^x=(e^x/a)+(a/e^x)
继续可得
（1/a-a）（1/e^x-e^x）=0
所以1/a-a=0,则a=-1,1
又a>0,所以a=1
f(x)在(0,+∞)上是增函数
设0