若关于x的一元二次方程x2-2（2-k）x+k2+12=0有实数根α、β． （1）求实数k的取值范围； （2）设t＝α+βk，求t的最小值．

题目

若关于x的一元二次方程x²-2（2-k）x+k²+12=0有实数根α、β．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设t＝

α+β

k

答案

（1）∵一元二次方程x²-2（2-k）x+k²+12=0有实数根a，β，
∴△≥0，
即4（2-k）²-4（k²+12）≥0，
4（4-4k+k²）-4k²-48≥0，
16-16k-48≥0，即16k≤-32，
解得k≤-2；
（2）由根与系数的关系得：a+β=-[-2（2-k）]=4-2k，
∴t＝

a+β

k

＝

4−2k

k

＝

4

k

−2，
∵k≤-2，
∴-2≤

4

k

＜0，
∴−4≤

4

k

−2＜−2，
即t的最小值为-4．