平直公路上有甲、乙两辆汽车,甲以0.5m/s2的加速度由静止开始行驶,乙在甲的前方200m处以5m/s的速度做同方向的匀速运动.问: (1)甲何时追上乙?甲追上乙时的速度为多大?此时甲离出
题目
平直公路上有甲、乙两辆汽车,甲以0.5m/s2的加速度由静止开始行驶,乙在甲的前方200m处以5m/s的速度做同方向的匀速运动.问:
(1)甲何时追上乙?甲追上乙时的速度为多大?此时甲离出发点多远?
(2)在追赶过程中,甲、乙之间何时有最大距离?这个距离为多大?
答案
(1)当甲追上乙时,它们的位移之差是x
0=200m,
x
甲=x
0+x
乙,
设甲经时间t追上乙,则有x
甲=
a
甲t
2,x
乙=v
乙t.
根据追及条件,有
a
甲t
2=v
乙t+200,
解得t=40 s或t=-20 s(舍去).
这时甲的速度v
甲=a
甲t=0.5×40 m/s=20 m/s,
甲离出发点的位移 x
甲=
a
甲t
2=
×0.5×40
2 m=400 m.
(2)在追赶过程中,当甲的速度小于乙的速度时,甲、乙之间的距离仍在增大,但当甲的速度大于乙的速度时,甲、乙之间的距离便减小.当二者速度相等时,甲、乙之间的距离达到最大值.
由a
甲t=v
乙,
得t=10 s,
即甲在10 s末离乙的距离最大.
x
max=x
0+v
乙t-
a
甲t
2=(200+5×10-
×0.5×10
2) m=225 m.
答:(1)甲40s时追上乙,甲追上乙时的速度为20 m/s,此时甲离出发点400 m.
(2)在追赶过程中,甲、乙之间10 s时有最大距离,这个距离为225 m.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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