设a＞0,f(x)=e^x／a+a／e^x是R上的偶函数.（1）求a的值.（2）证明f(x)在（0,+∞）上的单调性

题目

设a＞0,f(x)=e^x／a+a／e^x是R上的偶函数.（1）求a的值.（2）证明f(x)在（0,+∞）上的单调性

答案

1、f(x)=e^x/a+a/e^x是R上的偶函数,所以对于任意x,都有f（-x)=f(x）
所以f(-1)=f(1)
即（e^-1)/a+a/e=e/a+a/(e^-1)
通过移项得,e/a-(e^-1)/a=a/（e^-1)-a/e
解得a=1或-1
因为a>0
所以a=12、a=1
f(x)=e^x+1/e^x
x1,x2∈（0,＋∞）,x1＜x2
f(x1)-f(x2)=e^x1+1/e^x1-（e^x2+1/e^x2）=e^x1-e^x2＋1/e^x1-1/e^x2=（e^x1-e^x2）（e^x1e^x2-1）/e^x1e^x2
x1,x2∈（0,＋∞）,所以e^x1e^x2-1＞0,e^x1-e^x2＜0
所以（e^x1-e^x2）（e^x1e^x2-1）/e^x1e^x2＜0
所以f(x1)＜f(x2)
所以f(x)在（0,＋∞）上是增函数