已知F1,F2是两个定点,点P是以F1,F2为公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点,并且PF1垂直于PF2,e1和e2分别是椭圆与双曲线的离心率,求1/(e1)^2+1/(e2)^2的值

题目

已知F1,F2是两个定点,点P是以F1,F2为公共焦点的椭圆与双曲线的一个交点,并且PF1垂直于PF2,e1和e2分别是椭圆与双曲线的离心率,求1/(e1)^2+1/(e2)^2的值

答案

设PF1=x,PF2=y,不妨设x>y；
设双曲线实轴长为2a2,椭圆长轴长为2a1
则：x-y=2a2,x+y=2a1
x²+y²=4c²
(x-y)²+(x+y)²=2(x²+y²)
即：4a2²+4a1²=8c²
a2²+a1²=2c²
a2²/c²+a1²/c²=2
即：1/e1²+1/e2²=2