一种变压器的铁芯的截面为正十字型，如图，为保证所需的磁通量，要求十字型具有45cm2的面积．问该如何设计正十字型的宽x及长y，才能使其外接圆的周长最短？

题目

一种变压器的铁芯的截面为正十字型，如图，为保证所需的磁通量，要求十字型具有4

5

cm²的面积．问该如何设计正十字型的宽x及长y，才能使其外接圆的周长最短？

答案

设外接圆的半径为R cm，则 R=12x2+y2．　　由2xy-x2=45，得 y=45+x22x．　　要使外接圆的周长最小，需要R取最小值，也即R2取最小值．　　设 f（x）=R2=14[x2+（45+x22x）2]=516x2+5x2+52（0<x<2R） &nb...

设外接圆的半径为Rcm，则 R=

1

2

x2+y2

，根据面积求出长，然后表示出外接圆的周长，利用导数研究函数的最小值即可．

本题考点：函数模型的选择与应用．

考点点评：本题通过设间接变量，由题意得到一个函数，再确定它的最小值．间接处理所研究的目标，并用导数研究目标函数的最小值，是解本题的关键所在．