已知F1,F2是椭圆的焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°. (1)求椭圆离心率的取值范围; (2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

已知F1,F2是椭圆的焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°. (1)求椭圆离心率的取值范围; (2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

题目
已知F1,F2是椭圆的焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆离心率的取值范围;
(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
答案
设椭圆方程为 
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),|PF1|=m,|PF2|=n.
在△PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60°.
∵m+n=2a,∴m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn,
∴4c2=4a2-3mn.即3mn=4a2-4c2
又mn≤(
m+n
2
2=a2(当且仅当m=n时取等号),
∴4a2-4c2≤3a2,∴
c2
a2
1
4
,即e≥
1
2

∴e的取值范围是[
1
2
,1).
(2)由(1),得mn=
4(a2c2)
3
4
3
b2

SF1PF2=
1
2
mnsin60°=
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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