实数x,y满足x2+y2+2x-4y+1=01y/x-4的最大值和最小值

题目

实数x,y满足x2+y2+2x-4y+1=01y/x-4的最大值和最小值

答案

实数x,y满足x²+y²+2x-4y+1=0,求y/(x-4)的最大值和最小值
将原式改写为(x+1)²+(y-2)²=4,这是一个圆心M在(-1,2),半径R=2的圆；设P(x,y)是圆上的一个动点,A(4,0)是圆外的一个定点,那么AP所在直线的斜率k=(y-0)/(x-4)=y/(x-4),要求这个斜率的最大
最小值；显然,k的最大值是0；过A作圆的切线,那么这条切线的斜率就是k的最小值.
过圆心M(-1,2)作x轴的垂直线MB,B为垂足,连接MA,那么AM便是∠BAP的平分线；设∠BAM=α,
tanα=︱MB︱/︱AB︱=2/4=1/2,故tan2α=2tanα/(1-tan²α)=1/(1-1/4)=4/3；
AP所在直线的倾角β=180°-2α；故k=tanβ=tan(180°-2α)=-tan2α=-4/3
即-4/3≦y/(x-4)≦-4/3.