设球的半径为时间t的函数R(t),若球的表面积以均匀速度c增长,则球的体积的增长速度与球半径成什么比?

题目

设球的半径为时间t的函数R(t),若球的表面积以均匀速度c增长,则球的体积的增长速度与球半径成什么比?
比例系数是多少?

答案

r＝R﹙t﹚
S＝4π﹙R﹙t﹚﹚²
S′＝8π﹙R﹙t﹚﹚﹙R﹙t﹚﹚′＝c
V＝﹙4/3﹚π﹙R﹙t﹚﹚³
V′＝4π﹙R﹙t﹚﹚²﹙R﹙t﹚﹚′
V′/r＝4π﹙R﹙t﹚﹚﹙R﹙t﹚﹚′＝c/2
即球的体积的增长速度与球半径成正比,比例系数是c/2