已知a,b,c为实数,且a+b+c=0,abc=1,求证：a,b,c三数中必有一个大于3/2.

题目

已知a,b,c为实数,且a+b+c=0,abc=1,求证：a,b,c三数中必有一个大于3/2.
证明：由a+b+c=0及abc=1可知，a,b,c中只有一个正数、两个负数，不妨设a是正数，由题意得b+c=-a,又：bc=1/a; 于是根据韦达定理知，b,c是方程x^2+ax+1/a=0的两个根，又b,c是实数， 因此上述方程的判别式 △=a^2-4/a≥0因为a>0,所以a^3-4≥0,a^3≥4 a≥(4)^(1/3)>(3.375)^(1/3)=1.5; 这也就证明了a,b,c中必有一个大于等于1.5

答案

如果 a,b,c 都 ≤ 3/2
由于 a+b+c=0 所以 三者必有一个 < 0
由于 abc=1 所以 三者中有两个 2* √6/3
即 a+b < -2* √6/3
9 - √96
所以 a + b + c < -2* √6/3 + 3/2 = --------------