已知数列{an}满足a1=1,an+1= Sn+n+1,n属于N*,求数列{an}的通项公式

题目

已知数列{an}满足a1=1,an+1= Sn+n+1,n属于N*,求数列{an}的通项公式

答案

a(n+1)=Sn+n+1
an=S(n-1)+(n-1)+1=S(n-1)+n
相减,Sn-S(n-1)=an
所以a(n+1)-an=an+1
a(n+1)=2an+1
a(n+1)+1=2an+2=2(an+1)
[a(n+1)+1]/(an+1)=2是一个不等于0的常数,
所以an+1是等比数列
[a(n+1)+1]/(an+1)=2,q=2
令bn=an+1,则b1=a1+1=2
所以bn=2*2^(n-1)=2^n
所以an=bn-1=2^n-1
Sn=(2^1+2^2+……+2^n)-1*n=2*(2^n-1)/(2-1)-n=2^(n+1)-2-n