f(x)定义在（0,1）上,当x是有理数时f(x)=1,当x是无理数时,f(x)=0.求f(x)的积分,在（0,1）上.

题目

f(x)定义在（0,1）上,当x是有理数时f(x)=1,当x是无理数时,f(x)=0.求f(x)的积分,在（0,1）上.
即f(x)是狄利克雷函数在区间（0,1）上的一段.
可积但无法黎曼积分，
百了居士，按你的最后一句分析。
有理数点集测度是为0的，所有有理数是所有间断点吗，那么按你的话他不是黎曼可积了吗。和你前面说的黎曼不可积不是矛盾了么。

答案

在勒贝格积分意义下,狄利克雷函数在区间（0,1）上可积.积分值为0,
因为按勒贝格测度,狄利克雷函数在区间（0,1）上几乎处处为0.
在黎曼积分意义下,狄利克雷函数在区间（0,1）上不可积.
区间（0,1）上函数f(x)黎曼可积的充要条件是f(x)间断点集合的勒贝格测度为0.