如图,O为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a>0,b≠0),且交抛物线y2=2px(p>0)于M(x1,y1),N(x2,y2)两点. (1)写出直线l的截距式方程; (2)证明:1
题目
如图,O为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a>0,b≠0),且交抛物线y
2=2px(p>0)于M(x
1,y
1),N(x
2,y
2)两点.
(1)写出直线l的截距式方程;
(2)证明:
1 |
y
答案
(1)直线l的截距式方程为 + =1.① (2)证明:由①及y 2=2px消去x可得by 2+2pay-2pab=0.② 点M、N的纵坐标y 1、y 2为②的两个根,故y 1+y 2= ,y 1y 2=-2pa. 所以 + = = = . (3)设直线OM、ON的斜率分别为k 1、k 2, 则k 1= ,k 2= . 当a=2p时,由(2)知,y 1y 2=-2pa=-4p 2, 由y 12=2px 1,y 22=2px 2,相乘得(y 1y 2) 2=4p 2x 1x 2, x 1x 2= = =4p 2, 因此k 1k 2= = =-1. 所以OM⊥ON,即∠MON=90°.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程. 我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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