求极限limx→1{[(x^2-1)/(x-1)]*e^[1/(x-1)]}

题目

求极限limx→1{[(x^2-1)/(x-1)]*e^[1/(x-1)]}
求极限:limx→1{[(x^2-1)/(x-1)]*e^[1/(x-1)]}
是求当x趋近于1,x的平方-1除以(x-1),然后再乘以e的1/(x-1)次幂的极限
答案给的是极限不存在,这是怎么出来的呢?

答案

当x趋近于1时,1/(x-1)趋近于无穷,但(x^2-1)/(x-1)的收敛速度没有e^[1/(x-1)]的收敛速度快,所以最后的极限取决于e^[1/(x-1)].当x趋近于1+时,1/(x-1)趋近于正无穷,即原题趋近于正无穷；当x趋近于1-时,1/(x-1)趋近于负无穷,即原题趋近于负无穷.由于左右极限不相等,所以原极限不存在.