设函数f(x)=|x-a|+3x,若不等式f(x)-f(x+m)≥-2对任意实数X均成立,求实数m取值范围?

题目

设函数f(x)=|x-a|+3x,若不等式f(x)-f(x+m)≥-2对任意实数X均成立,求实数m取值范围?

答案

f(x)-f(x+m)≥-2
f(x)=|x-a|+3x,f(x+m)=|x+m-a|+3(x+m)
f(x)-f(x+m)=|x-a|+3x-|x+m-a|-3(x+m)=|x-a|-|x+m-a|-3m
即|x-a|-|x+m-a|-3m≥-2对任意实数X均成立
分4种情况讨论
①x-a-x-m+a-3m+2≥0 m≤1/2
②2x-2a+m-3m+2≥0
x-a-m+1≥0与X有关
③a-x+x+m-a-3m+2≥0
2-2m≥0即m≤1
④a-x-x-m+a-3m+2≥0
2a-2x-4m+2≥0与X有关
综上 m≤1/2