已知函数f（x）=2x2-1 （Ⅰ）用定义证明f（x）是偶函数； （Ⅱ）用定义证明f（x）在（-∞，0）上是减函数．

题目

已知函数f（x）=2x²-1
（Ⅰ）用定义证明f（x）是偶函数；
（Ⅱ）用定义证明f（x）在（-∞，0）上是减函数．

答案

（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域为R，对于任意的x∈R，都有f（-x）=2（-x）²-1=2x²-1=f（x），∴f（x）是偶函数．
（Ⅱ）证明：在区间（-∞，0]上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，则有
f(x1)−f(x2)＝(2x12−1)−(2x22−1)＝2(x12−x22)＝2(x1−x2)•(x1+x2)，
∵x₁，x₂∈（-∞，0]，x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＜0，
即（x₁-x₂）•（x₁+x₂）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x）在（-∞，0）上是减函数．