已知f（x）为偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是减函数，证明f（x）在（-∞，0）上是增函数．

题目

已知f（x）为偶函数，且f（x）在（0，+∞）上是减函数，证明f（x）在（-∞，0）上是增函数．

答案

证明：任取x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
则-x₁，-x₂∈（0，+∞）且-x₁＞-x₂，
∵f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴f（-x₁）＜f（-x₂）
又∵f（x）为偶函数，
f（x₁）=f（-x₁），f（x₂）=f（-x₂）
∴f（x₁）＜f（x₂）
即f（x）在（-∞，0）上是增函数