已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数． （1）求k的值； （2）求f（x）的值域．

题目

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）求f（x）的值域．

答案

（1）由函数f（x）是偶函数，可知f（x）=f（-x）
∴log₄（4^x+1）+kx=log₄（4^-x+1）-kx
即log4

4x+1

4−x+1

＝−2kx，log₄4^x=-2kx∴
x=-2kx对一切x∈R恒成立，∴k=-

1

2

（2）k＝−

1

2

时，f(x)＝log4(4x+1)−

1

2

x=log4

4x+1

2x

＝log4(2x+

1

2x

)
∵2x+

1

2x

≥2∴log4(2x+

1

2x

)≥

1

2

，所以f（x）的值域为[

1

2

，+∞)