怎么证明根号5是无理数

题目

怎么证明根号5是无理数

答案

通俗地说,无理数是不能化为分数的数,
严格地说,无理数就是不能写成两个整数比的数.
用反证法证明√5是无理数.
设√5不是无理数而是有理数,则设√5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1)
两边平方,5=p^2/q^2,p^2=5q^2(*)
p^2含有因数5,设p=5m
代入(*),25m^2=5q^2,q^2=5m^2
q^2含有因数5,即q有因数5
这样p,q有公因数5,
这与假设p,q最大公约数为1矛盾,
√5=p/q(p,q是正整数,且互为质数,即最大公约数是1)不成立,
√5不是有理数而是无理数.