设数列{an}满足a1=1,an+1=3an,数列{bn}的前n项和Sn=n2+2n+1. (I)求数列{an},{bn}的通项公式; (II)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
题目
设数列{an}满足a1=1,an+1=3an,数列{bn}的前n项和Sn=n2+2n+1.
(I)求数列{an},{bn}的通项公式;
(II)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
答案
(Ⅰ)由题意知数列{a
n}是首项为1,公比为3的等比数列,其通项公式为a
n=3
n-1;
数列{b
n}满足b
1=S
1=4,n≥2时,b
n=S
n-S
n-1=2n+1.所以,数列{b
n}的通项公式为
bn=(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
cn=anbn=T
n=4+5•3+7•3
2+…+(2n+1)•3
n-1∴3T
n=12+5•3
2+7•3
3+9•3
4+…+(2n+1)•3
n,(8分)
两式相减得
−2Tn=7+2(32+33+34++3n−1)−(2n+1)•3n=7+2−(2n+1)•3n=−2−2n•3n所以T
n=n•3
n+1,(n≥2),
综上,数列{c
n}的前n项和T
n=n•3
n+1,(n∈N
+).(12分)
(I)首先根据an+1=3an可知数列{an}是公比为3的等比数列,然后根据公比和首项即可求出{an}的通项公式;当n≥2时,根据bn=Sn-Sn-1求通项公式,然后验证b1=S1=4,不符合上式,因此数列{bn}是分段数列;
(Ⅱ)先写出数列{cn}的通项公式,然后计算出Tn-3Tn,进而求出Tn.
等差数列与等比数列的综合.
本题主要考查了数列通项公式以及数列的前n项和的求法,对于等差数列与等比数列乘积形式的数列,一般采取错位相减的方法求数列的前n项和,这种方法要熟练掌握.
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我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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