求解4阶行列式怎么用代数余子式算

题目

求解4阶行列式怎么用代数余子式算
如图

答案

由题意,A31、A32、A33、A34是行列式D第三行元素的代数余子式.其中D=
3 1 -1 2
-5 1 3 -4
2 0 1 -1
1 -5 3 -3
现构造一个新的行列式G,使G=
3 1 -1 2
-5 1 3 -4
1 3 -2 2
1 -5 3 -3
∴G与D除了第三行元素不同,其余元素均对应相等.
根据行列式的性质,G第三行元素的代数余子式与D第三行元素代数余子式也对应相等.
即,G按第三行展开,得
G = A31+ 3*A32 - 2*A33 +2* A34………………………………………………（*）
【现在求行列式G的值】
首先,依次将G的第一、三行,第二、四行对换,得
1 3 -2 2
1 -5 3 -3
3 1 -1 2
-5 1 3 -4
再用第二行减去第一行,第三行减去第一行的 3 倍,第四行加上第一行的 5 倍,得
1 3 -2 2
0 -8 5 -5
0 -8 5 -4
0 16 -7 6
再用第三行减去第二行,第四行加上第二行的 2 倍,得
1 3 -2 2
0 -8 5 -5
0 0 0 1
0 0 3 -4
第四行乘以（- 1）,再将第三、四行对换,得
1 3 -2 2
0 -8 5 -5
0 0 -3 4
0 0 0 1
∴G = 1 * (- 8)* (- 3)* 1 = 24
代入（*）式,得
A31+ 3*A32 - 2*A33 +2* A34 = 24