已知函数f(x)=1/2x+lnx(1)求函数fx的单调区间(2)求证:当x>1时,1/2x+lnx<2/3x.
题目
已知函数f(x)=1/2x+lnx(1)求函数fx的单调区间(2)求证:当x>1时,1/2x+lnx<2/3x.
答案
f'(x)=1/2×2x+1/x=x+1/x,因为函数定义域为x>0所以x+1/x恒大于0,所以f'(x)在x>0时恒>0,所以f(x)单调递增区间为(0,+∝) (2)令g(x)=-2/3x^3+1/2x^2+lnx,所以g'(x)=-2x^2+x+1/x=(-2x^3+x^2+1)/x,因为x恒>0所以只需考虑分子的正负分子可化为-(x-1)(2x^2+x+1)因为 2x^2+x+1>0所以当x>1时g'(x)<0,当0<x<1时,g'(x)>0,所以当x=1时g(x)取极大值,所以当x>1时g(x)<g(1)=-2/3+1/2=-1/6<0,所以-2/3x^3+1/2x^2+lnx<0,即1/2x^2+lnx<2/3x^3
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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