设p为质数,（a,p的平方）＝p,（b,p的立方）＝p的平方,那么（ab,p的四次方）＝?（a＋b,p的四次方）＝?

题目

设p为质数,（a,p的平方）＝p,（b,p的立方）＝p的平方,那么（ab,p的四次方）＝?（a＋b,p的四次方）＝?
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答案

（a,p的平方）＝p 说明a=p*r 且p不整除r
（b,p的立方）＝p的平方 说明b=p*p*s 且p不整除s,那么ab=p*p*p*r*s,而p不整除rs,所以
（ab,p的四次方）＝p的三次方
a+b=p*（r+p*s）,而p不整除（r+p*s）,【因为如果p整除（r+p*s）,那么马上可以得到（r+p*s）=p*q,即r=p*q-p*s,推出p整除r,矛盾!】
所以（a＋b,p的四次方）＝p