已知函数f（x）=ln（ax+1）+1−x1+x，x≥0，其中a>0．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．

题目

已知函数f（x）=ln（ax+1）+

1−x

1+x

，x≥0，其中a>0．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．

答案

（Ⅰ）f′(x)=

a

ax+1

-

2

(1+x)2

=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

，
∵f′（x）在x=1处取得极值，f′（1）=0
  即 a+a-2=0，解得  a=1
（Ⅱ）f′(x)=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

，
∵x≥0，a>0，
∴ax+1>0
①当a≥2时，在区间（0，+∞）上f′（x）>0．
∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）
②当0<a<2时，由f′（x）>0解得x>

2-a a

由f′(x)<0解得x<

2-a a

∴f（x）的单调减区间为(0，

2-a a

)，单调增区间为(

2-a a

，+∞)
（Ⅲ）当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1
当0<a<2时，由（II）②知，f(x)在x=

2-a a

处取得最小值f(

2-a a

)<f(0)=1，
综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）

（Ⅰ）对函数求导，令f′（1）=0，即可解出a值．
（Ⅱ）f′（x）＞0，对a的取值范围进行讨论，分类解出单调区间．a≥2时，在区间（0，+∞）上是增函数，
（Ⅲ）由（2）的结论根据单调性确定出最小值，当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1，恒成立；当0＜a＜2时，判断知最小值小于1，此时a无解．当0＜a＜2时，（x）的单调减区间为(0，

2−a a

)，单调增区间为(

2−a a ，+∞

)

本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：考查导数法求单调区间与求最值，本类题型是导数的主要运用．