O为平面中任意一点,若A,B,C三点共线,证明:存在一组有序数对(X,Y)使得向量OA=x向量OB+y向量OC,且x+y=1
题目
O为平面中任意一点,若A,B,C三点共线,证明:存在一组有序数对(X,Y)使得向量OA=x向量OB+y向量OC,且x+y=1
答案
显然有:向量AB=向量OB-向量OA、向量BC=向量OC-向量OB.
∵A、B、C共线,∴向量AB=k向量BC,其中k为非零实数.
∴向量OB-向量OA=k(向量OC-向量OB),
∴向量OA=向量OB-k向量OC+k向量OB=(1+k)向量OB-k向量OC.
令y=-k,x=1+k,得:x+y=1.
∴向量OA=x向量OB+y向量OC,且x+y=1.
举一反三
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