导数的几何文题

题目

导数的几何文题
已知曲线C：y=3x^4-2x^3-9x^2+4.(1)求曲线C上切点横坐标为l的切线方程； (2)第(1)问中的切线与曲线C是否还有其他公共点.

答案

由y=3x^4-2x^3-9x^2+4得y'=12x^3-6x^2-18x.x=1,则y=3-2-9+4=-4,y'=12-6-18=-12.
于是曲线C上切点横坐标为1的切线方程为y-(-4)=-12*(x-1),也即12x+y-8=0.
考察方程12x+3x^4-2x^3-9x^2+4-8=0,即3x^4-2x^3-9x^2+12x-4=0.分解因式得
(x-1)^2*(x+2)(3x-2)=0
显然已有一个根x1=1,对应着切点.另两个根为x2=-1,x3=2/3.
于是公共点为(1,-4)(切点),(-2,32) ,(2/3,0)
除切点外,还有两个交点(-2,32) 和(2/3,0).