已知集合P={x|1/2≤x≤2}，y=log2（ax2-2x+2）的定义域为Q．（1）若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；（2）若方程log2(ax2-2x+2)=2在[1/2，2]内有解，求实数a的

题目

已知集合P={x|

1

2

≤x≤2}

答案

（1）由已知Q={x|ax²-2x+2＞0}，若P∩Q≠∅，
则说明在[

1

2

，2]内至少有一个x值，使不等式ax²-2x+2＞0，即，
在[

1

2

，2]内至少有一个x值，使a＞

2

x

−

2

x2

成立，令u＝

2

x

−

2

x2

，则只需a＞umin．又u＝−2(

1

x

−

1

2

)2+

1

2

，当x∈[

1

2

，2]时，

1

x

∈[

1

2

，2]，从而u∈[−4，

1

2

]
∴a的取值范围是a＞-4；
（2）∵方程log2(ax2−2x+2)＝2在[

1

2

，2]内有解，
∴ax2−2x+2＝4即ax2−2x−2＝0在[

1

2

，2]内有解，分离a与x，得a＝

2

x

+

2

x2

＝2(

1

x

+

1

2

)2−

1

2

，在[

1

2

，2]上有x的值，使上式恒成立
∵

3

2

≤2(

1

x

+

1

2

)2−

1

2

≤12∴

3

2

≤a≤12，即a的取值范围是[

3

2

，12]．