已知函数f(x)=lnx+2x,g(x)=a(x2+x),若f(x)≤g(x)恒成立,则实数a的取值范围是_.
题目
已知函数f(x)=lnx+2x,g(x)=a(x2+x),若f(x)≤g(x)恒成立,则实数a的取值范围是______.
答案
设F(x)=f(x)-g(x),则
F′(x)=−当a≤0时,F′(x)≥0,F(x)单调递增,F(x)≤0不可能恒成立;
当a>0时,令F′(x)=0,得
x=,
x=−(舍去).
当
0<x<时,F′(x)>0,函数单调递增;当
x>时,F′(x)<0,函数单调递减;
故F(x)在(0,+∞)上的最大值是
F(),依题意
F()≤0恒成立,
即
ln+−1≤0恒成立,
∵g
g(a)=ln+−1单调递减,且g(1)=0,
∴
ln+−1≤0成立的充要条件是a≥1,
∴a的取值范围是[1,+∞).
故答案为:[1,+∞).
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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