把函数y=㏑ⅹ-2的图像按向量a=(-1,2)平移得到函数y=f(ⅹ)的图像.
题目
把函数y=㏑ⅹ-2的图像按向量a=(-1,2)平移得到函数y=f(ⅹ)的图像.
⑴若ⅹ>0,证明f(ⅹ)>2ⅹ/ⅹ+2
答案
(1)函数y=㏑ⅹ-2的图像按向量a=(-1,2)平移得到函数y=f(ⅹ)的图像,故f(x)=ln(x+1)
构造函数F(x)=ln(x+1)-2x/(x+2)
对其求导,得F’(x)=1/(x+1)-[2*(x+2)-2x]/(x+2)^2=
(x^2+4x)/[(x+1)*(x+2)^2]
因为x>0,所以F’(x)>0,则F(x)在(0,+∞)上单调递增
所以F(x)>F(0)=(ln1)-0=0-0=0
所以ln(x+1)-2x/(x+2)>0,ln(x+1)>2x/(x+2),f(ⅹ)>2ⅹ/ⅹ+2,得证
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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