把函数y=㏑ⅹ-2的图像按向量a＝（－1,2）平移得到函数y=f(ⅹ)的图像.

题目

把函数y=㏑ⅹ-2的图像按向量a＝（－1,2）平移得到函数y=f(ⅹ)的图像.
⑴若ⅹ＞0,证明f（ⅹ）＞2ⅹ/ⅹ+2

答案

(1)函数y=㏑ⅹ-2的图像按向量a＝（－1,2）平移得到函数y=f(ⅹ)的图像,故f(x)=ln(x+1)
构造函数F（x)=ln(x+1)-2x/(x+2）
对其求导,得F’（x)=1/(x+1)-[2*(x+2)-2x]/(x+2)^2=
(x^2+4x)/[(x+1)*(x+2)^2]
因为x>0,所以F’（x)>0,则F（x)在（0,+∞）上单调递增
所以F（x)>F(0)=(ln1)-0=0-0=0
所以ln(x+1)-2x/(x+2）>0,ln(x+1)>2x/(x+2）,f（ⅹ）＞2ⅹ/ⅹ+2,得证