力的方向与速度方向始终垂直(大小不变).F=mv^2/r时,物体为什么会做圆周运动?

题目

力的方向与速度方向始终垂直(大小不变).F=mv^2/r时,物体为什么会做圆周运动?

答案

加速度是速度的改变量,确切地说,是在一个瞬间,速度的改变量,数学表达式lim(△t→0)△v/△t,这是加速度的定义式,然后你可以用微元法推导,过了很小的△t时间,画出v的初状态和末状态的图,因为△t很小,所以它们的夹角也很小,因此用平行四边形定则合成,加速度就是朝圆心方向的,而且它的大小是v△θ,而△θ=ω△t,所以,其实我们首先可以推导出a=v△θ/△t=ωv.这是加速度的推导.当然你也许会问,如果a指向圆心,那么什么物体没有向圆心运动呢?不要认为是离心力,没有离心力,我们在受力分析的时候,从来不提离心力,那是因为a也在不断变化方向,所以速度在宏观上表现为圆周上的变化,而没有径向的速度.
现在不大想明白是正常的,学了微分后,你就会知道这很容易.顺便说一下,向心加速度公式其实适用范围很广,任意一个曲线运动,只要知道它某点的曲率半径ρ,那么a=v^2/ρ,这可是合加速度,至于曲率半径ρ,就交给微积分吧,只要你能拿出轨迹方程,曲率半径就可以套公式；就算不用曲率半径,你也可以先选出它沿某点的向心加速度,再算出切向加速度,一合成,就行了.