证明不等式x-sinx

题目

证明不等式x-sinx

答案

f(x)=2x-sinx-tanx
f'(x)=2-cosx-sec²x
=2-cosx-1/cos²x
=(2cos²x-cos³x-1)/cos²x
分母大于0
令a=cosx,有x范围
0令g(a)=-a³+2a²-1
g'(a)=-3a²+4a=0
a=0,a=4/3
则00
所以是增函数,所以a=1时最大
g(1)=0
所以g(a)<0
即f'(x)分子小于0
所以f'(x)<0
所以f(x)=2x-sinx-tanx是减函数
则f(x)所以2x-sinx-tanx<0
所以x-sinx

举一反三

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