已知双曲线是左、右焦点分别为F1、F2,离心率为根号2且过点(4,-根号10)

题目

已知双曲线是左、右焦点分别为F1、F2,离心率为根号2且过点(4,-根号10)
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线x=3与双曲线交于M、N两点,求证：F1M⊥F2M.

答案

离心率e=c/a=√2,∴a=b
设双曲线方程为x²-y²=k
代入已知点坐标：k=16-10=6
双曲线方程为x²/6 - y²/6 = 1
(2)代入x=3求得M点纵坐标|Ym|=√3
设MN与x轴交点为H,两焦点坐标为(±2√3,0）
则MH=√3,F1H=3+2√3,F2H=2√3-3
F1H*F2H=3=MH²,根据射影定理可判定F1M⊥F2M