在△ABC中,AB=AC,过其中一个顶点的直线交对边于点D,若分割成两个三角形均为等腰三角形.求△ABC三个内角

题目

在△ABC中,AB=AC,过其中一个顶点的直线交对边于点D,若分割成两个三角形均为等腰三角形.求△ABC三个内角
的度数

答案

因为题中没有指明这个等腰三角形是什么形状,故应该分四种情况进行分析,从而得到答案．
求顶角即可,底角是（180-顶角）/2 就不写了
（1）如图,△ABC中,AB=AC,BD=AD,AC=CD,求∠BAC的度数．
∵AB=AC,BD=AD,AC=CD,
∴∠B=∠C=∠BAD,∠CDA=∠CAD,
∵∠CDA=2∠B,
∴∠CAB=3∠B,
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴5∠B=180°,
∴∠B=36°,
∴∠BAC=108°．
（2）如图,△ABC中,AB=AC,AD=BD=CD,求∠BAC的度数．
∵AB=AC,AD=BD=CD,
∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB
∴∠BAC=2∠B
∵∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴4∠B=180°,
∴∠B=45°,
∴∠BAC=90°．
（3）如图,△ABC中,AB=AC,BD=AD=BC,求∠BAC的度数．
∵AB=AC,BD=AD=BC,
∴∠B=∠C,∠A=∠ABD,∠BDC=∠C
∵∠BDC=2∠A,
∴∠C=2∠A=∠B,
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴5∠A=180°,
∴∠A=36°．
（4）如图,△ABC中,AB=AC,BD=AD,CD=BC,求∠BAC的度数．
假设∠A=x,AD=BD,
∴∠DBA=x,
∵AB=AC,
∴∠C= 180-x/7=2,
∵CD=BC,
∴∠BDC=2x=∠DBC=180-x/7 -x,
解得：x=180/7 ．
∴∠A=180/7 ．
点评：此题主要考查等腰三角形的性质,三角形外角的性质及三角形内角和定理的综合运用．