求证3是无理数．

题目

求证

3

是无理数．

答案

证明：假设

3

是有理数，则不妨设

3

＝

m

n

（m，n为互质正整数），
从而：（

m

n

）²=3，m²=3n²，可见m是3的倍数．
设m=3p（p是正整数），则 3n²=m²=9p²，可见n 也是3的倍数．
这样，m，n就不是互质的正整数（矛盾）．
∴

3

＝

m

n

不可能，
∴

3

是无理数．

直接利用反证法的证明方法，设

3

是有理数，推出矛盾即可．

本题考点：反证法与放缩法．

考点点评：本题考查反证法的证明方法的应用，基本知识的考查．