已知函数f(x)=2msin2x-23msinx•cosx+n的定义域为[0,π2],值域为[-5,4].试求函数g(x)=msinx+2ncosx(x∈R)的最小正周期和最值.
题目
已知函数
f(x)=2msin2x-2msinx•cosx+n的定义域为
[0,],值域为[-5,4].试求函数g(x)=msinx+2ncosx(x∈R)的最小正周期和最值.
答案
f(x)=-msin2x-mcos2x+m+n=-2msin(2x+)+m+n
x∈[0,]⇒2x+∈[,]⇒sin(2x+)∈[-,1]当m>0时,f(x)
max=
-2m(-)+m+n=4,f(x)
min=-m+n=-5
解得m=3,n=-2,
从而,g(x)=3sinx-4cosx=5sin(x+φ)(x∈R),
T=2π,最大值为5,最小值为-5;
当m<0时,解得m=-3,n=1,
从而,
g(x)=-3sinx+2cosx=sin(x+φ),T=2π,最大值为
,
最小值为
-.
由辅助解公式,正弦型函数的性质,根据函数
f(x)=2msin2x-2msinx•cosx+n的定义域为
[0,],值域为[-5,4].我们易构造关于m,n的方程组,解方程组即可得到函数g(x)=msinx+2ncosx的解析式,进而得到函数g(x)=msinx+2ncosx(x∈R)的最小正周期和最值.
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