已知a为实数,函数f（x）=2ax^2+2x-3-a,若函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的范围.

题目

已知a为实数,函数f（x）=2ax^2+2x-3-a,若函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的范围.
老师说有零点问题用参数分离,为什么可以呢?能帮忙用参数分离做一下吗?急.

答案

(1)=a-1, f(-1)=a-5,
第一种情形：f(1)f(-1)≤0得到a∈[1, 5]
第二种情形
Δ=4+8a(a+3)≥0得a∈(-∞, -3/2-√7/2]∪[-3/2+√7/2, +∞)
-1/a∈(-1,1)得a∈(-∞, -1)∪(1, +∞),只需考虑a∈(-∞, -3/2-√7/2]∪(5, +∞),
若a0,因此a∈(5, +∞)时f在[-1,1]上有零点
综上所述,a∈(-∞, -3/2-√7/2]∪[1, +∞)

2ax²+2x-3-a=0
a=-(2x-3)/(2x²-1)
x∈[-1,1]
1/a=-(2x²-1)/(2x-3)=-x-3/2-7/(4x-6)=-[(x-3/2)+7/(4x-6)]-3
当(x-3/2)=7/(4x-6)即x=3/2-√7/2时,1/a取得最小值-3+√7
当x=1时1/a取得最大值1
于是,a∈(-∞, -3/2-√7/2]∪[1, +∞)