已知函数f(x)=loga[(1a-2)x+1]在区间[1,3]上的函数值大于0恒成立,则实数a的取值范围是(  ) A.(1,+∞) B.(0,35) C.(12,1) D.(12,35)

已知函数f(x)=loga[(1a-2)x+1]在区间[1,3]上的函数值大于0恒成立,则实数a的取值范围是(  ) A.(1,+∞) B.(0,35) C.(12,1) D.(12,35)

题目
已知函数f(x)=loga[(
1
a
-2)x+1]在区间[1,3]上的函数值大于0恒成立,则实数a的取值范围是(  )
A. (1,+∞)
B. (0,
3
5

C. (
1
2
,1)
D. (
1
2
3
5
答案
设g(x)=(
1
a
−2
)x+1,x∈[1,3]
所以g(x)=(
1
a
−2
)x+1是定义域上的单调函数,
根据题意得
g(1)>0
g(3)>0
解得:0<a<
3
5

因为函数 f(x)=loga[(
1
a
−2)x+1]
在区间上[1,3]的函数值大于0恒成立
所以 loga[(
1
a
−2)x+1]>0
在区间上[1,3]恒成立
所以 loga[(
1
a
−2)x+1]>loga1
在区间上[1,3]恒成立
因为0<a<
3
5

所以 (
1
a
−2)x+1< 1
在区间上[1,3]恒成立
(
1
a
−2)x<0
在区间上[1,3]恒成立
所以
1
a
−2<0

解得a>
1
2

所以
1
2
<a<
3
5

所以实数a的取值范围是
1
2
<a<
3
5

故选D.
设g(x)=(
1
a
−2
)x+1,x∈[1,3]可得g(x)=(
1
a
−2
)x+1是定义域上的单调函数,即
g(1)>0
g(3)>0
解得:0<a<
3
5
.所以 (
1
a
−2)x+1< 1
在区间上[1,3]恒成立,
所以
1
2
<a<
3
5

函数恒成立问题;对数函数的值域与最值.

本题主要考查不等式的恒成立问题,解决此题的关键是准确的利用不等式的性质转化不等式,利用充分条件得出最后的结果.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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