数列an满足an+1=3an+n,是否存在适当的a1,使{an}是等差数列,说明理由

题目

数列an满足an+1=3an+n,是否存在适当的a1,使{an}是等差数列,说明理由

答案

可以先求a[n]的通项公式,但是求a[n]计算量稍微有点大,所以另寻蹊径.
a[2]=3a[1]+1;
a[3]=3a[2]+2=9a[1]+5
若a[n]为等差数列,那么2a[2]=a[1]+a[3]
即10a[1]+5=6a[1]+2
a[1]=-3/4
公差d=a[2]-a[1]=2a[1]+1=-1/2
a[n]=-3/4-(n-1)/2=-(2n+1)/4
代入递推式检验
a[n+1]=-(2n+3)/4
3a[n]+n=n-(6n+3)/4=-(2n+3)/4
从而存在a[1]=-3/4使{a[n]}为等差数列