已知公差不为零的等差数列{xn}和等比数列{yn}中,x1=y1=1,x2=y2,x6=y3.是否存在常数a、b,使得对于一切正整数n,都有xn=logayn+b成立?如果存在,求出a和b的值;如果不
题目
已知公差不为零的等差数列{xn}和等比数列{yn}中,x1=y1=1,x2=y2,x6=y3.是否存在常数a、b,使得对于一切正整数n,都有xn=logayn+b成立?如果存在,求出a和b的值;如果不存在,请说明理由.
答案
设等差数列{x
n}的公差为d,等比数列{y
n}的公比为q,则
x
1=1,x
2=1+d,x
6=1+5d;y
1=1,y
2=q,y
2=q
2,----------4分
∵x
2=y
2,x
6=y
3,
∴1+d=q,1+5d=q
2,解得d=3且q=4或d=0且q=1(不符合题意舍去)
∴x
n=1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2,y
n=y
1•q
n-1=1•4
n-1=4
n-1.----------9分
若存在实数a和b,使得x
n=log
ay
n+b成立(n∈N
*),
则3n-2=log
a4
n-1+b,(n∈N
*)
即有(3-log
a4)•n+(log
a4-b-2)=0恒成立,----------12分
∴
,解之得a=
,b=1
∴存在常数a=
,b=1,满足题设条件.-----------14分.
设{x
n}的公差为d且{y
n}的公比为q,根据题中等式建立关于d、q的方程组,解出d=3且q=4,从而得出x
n=3n-2,y
n=4
n-1.若存在实数a和b使得x
n=log
ay
n+b成立,可得3n-2=log
a4
n-1+b,化简即(3-log
a4)•n+(log
a4-b-2)=0恒成立,采用比较系数法建立关于a、b的方程组,即得存在常数a=
,b=1,满足题设条件.
等差数列与等比数列的综合.
本题给出等差数列与等比数列,在它们的对应项相等的情况下求通项公式并讨论一个等式恒成立的问题.着重考查了等差等比数列的通项公式、恒等式的成立和二元方程组的解法等知识,属于中档题.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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