证明：函数f(x)=（根号下1+x的平方）-x在R上是单调减函数.用导数法和定义法分别证明

题目

证明：函数f(x)=（根号下1+x的平方）-x在R上是单调减函数.用导数法和定义法分别证明

答案

1、导数法.
f'(x)=x/√(1+x^2) -1=[x-√(1+x^2)]/√(1+x^2).
分子总是<0,所以f'(x)<0,即f(x)在R上单调递减.
2、定义法.
设x1∈R,x2∈R,且x2>x1.
f(x2)-f(x1)=√(1+x2^2)-x2-√(1+x1^2)+x1
=1/[√(1+x2^2)+x2]-1/[√(1+x1^2)+x1]
前面的分母大,所以f(x2)-f(x1)<0
所以单调递减.