定义在实数R上的函数y=f(x)是偶函数,当x≥0时

题目

定义在实数R上的函数y=f(x)是偶函数,当x≥0时
f（x）=-2^(4x^2+8x-3),
(1)求f(x)在R上的表达式
(2)求y=f（x）的最大值
（3）写出f（x）在R的单调区间 不用证明

答案

(1)当x0,所以f(-x)=-2^[4*(-x)^2+8*(-x)-3]=-2^(4x^2-8x-3)
因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x)
所以f(x)=-2^(4x^2+8x-3),x>=0
=-2^(4x^2-8x-3),x=0时,令t=4x^2+8x-3=4(x+1)^2-7,x>=0
由图象可知:t>=4(0+1)^2-7=-3,又函数y=-2^t,t>=-3为减函数,所以此时它的最大值为y|(t=-3)=-1/8
因为该函数是偶函数,关于y轴对称,求得右支的最大值,即整个函数的最大值
(3)当x>=0时,t=4(x+1)^2-7为增函数,而此时y=-2^t,t>=-3为减函数,故x>=0时,f(x)=-2^(4x^2+8x-3)为减函数
而f(x)又为偶函数,故当x